如何求球的表面积

问题#

计算半径为 $R$ 的球的表面积

错误想法#

最初尝试把 $\frac18$ 球面“拉平”，认为可以用

$$\text{面积} = (\text{一条方向的弧长}) \times (\text{另一方向长度})$$

以为可以这样算

$$\int \frac{\pi}{2} \sqrt{R^2 - x^2} \, dx$$

但是不对，因为球的高斯曲率不为零，不能直接展开w

正确方法#

想到祖暅原理

注意到

$$V = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2)\, dx$$

得

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

对半径求导得

$$\frac{dV}{dR} = 4\pi R^2$$

当然还有其他方法，后续会补充的。